Continuité - Spécialité

Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 1 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variation.

Soit \(f\) une fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -20, -4, -1, 1, "+\\infty"], "variations_values": [3, 9, -8, 4, -7, 1], "variations": ["+", "-", "+", "-", "+"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=-5\).

Exercice 2 : Application du théorème des valeurs intermédiaire

Soit la fonction \( f:x\mapsto x^{4} -8x^{3} -2x^{2} + 24x + 8 \)
On note \( f' \) la fonction dérivée de la fonction \( f \).

Donner l'expression de \( f' \) sous la forme \( (ax^2 + b)\times(cx + d) \) avec \( a, b, c \text{ et } d \) des entiers.

Après avoir étudié la variation de la fonction \( f \), et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, donner le nombre d'image(s) de \( f \) de valeur \( -353 \) sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 3 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation de type f(x) = k à l'aide d'un tableau de variations

Le tableau de variations d'une fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left[-7; 8\right]\) est donné ci-dessous :

{"n_intervals": 3, "edges": [-7, -5, 3, 8], "variations_values": [5, 0, 6, 3], "variations": ["-", "+", "-"]}

Grâce au tableau de variations, déterminer le nombre de solutions dans \(\left[-7; 8\right]\) pour les équations suivantes :
\(f(x) = 7\)

\(f(x) = 1\)

\(f(x) = 3\)

\(f(x) = 0\)

Exercice 4 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variations (difficile).

Soit \(f\) un fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -12, -4, 2, 18, "+\\infty"], "variations_values": [3, -1, "\\dfrac{\\pi }{6}", -3, "\\dfrac{5\\pi }{7}", 1], "variations": ["-", "+", "-", "+", "-"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=\dfrac{\pi }{7}\).

Exercice 5 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variation.

Soit \(f\) une fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -18, -9, -7, 7, "+\\infty"], "variations_values": [5, -4, 4, 0, 3, -7], "variations": ["-", "+", "-", "+", "-"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=-8\).

Revenir au choix du niveau